a) Ciąg spełniający ten warunek nie może zawierać dwóch zer lub dwóch jedynek pod rząd - musi więc być naprzemienny. Istnieją dokładnie dwa takie ciągi, ponieważ tylko na dwa sposoby można wybrać pierwszy element:
(0,1,0,1,...) (1,0,1,0,...)
b) W tych ciągach elementy na miejscach parzystych powiązane są ze swoimi bezpośrednimi następnikami. Poza tym żadnych innych zależności nie ma, więc można na te ciągi patrzeć jak na przeliczalne ciągi wyrazów ze zbioru {01, 10}. Zbiór ten jest równoliczny ze zbiorem {0, 1}, więc takich ciągów jest tyle samo co ciągów z {0, 1}, czyli continuum.
Relacja ≡ jest:
- zwrotna, ponieważ każdy okrąg ma ten sam środek, co on sam
- symetryczna, ponieważ jeśli A ma ten sam środek co B, to B ma ten sam środek co A
- przechodnia, ponieważ jeśli A ma ten sam środek co B, a B ten sam co C, to i A ma ten sam co C
więc jest relacją równoważności.
Klasy abstrakcji to zbiory okręgów o środku w tym samym punkcie (co w szczególności oznacza, że nie może ich być więcej niż punktów na płaszczyźnie). Ponieważ każdy punkt na płaszczyźnie jest środkiem pewnych okręgów ze zbioru X, klas abstrakcji jest dokładnie tyle ile punktów na płaszczyźnie, czyli continuum.
Wszystkie klasy mają moc continuum, ponieważ w danej klasie każdemu okręgowi można przypisać liczbę niewymierną dodatnią będącą jego promieniem i przyporządkowanie to jest różnowartościowe oraz "na". A skoro tak, to zbiór okręgów należących do tej klasy jest równoliczny ze zbiorem liczb niewymiernych dodatnich, który jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb niewymiernych, który jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
Zaczynamy od rozpisania tego dziwnego warunku na przypadki:
f(n) + |f(n)| = f(n) + f(n) = 2·f(n) > 0 dla f(n) > 0 f(n) + |f(n)| = f(n) - f(n) = 0 dla f(n) ≤ 0Stąd wynika następująca zależność:
f(n) + |f(n)| = g(n) + |g(n)| <=> (f(n) = g(n) oraz f(n),g(n) > 0) lub (f(n) ≤ 0 oraz g(n) ≤ 0)W szczególności, jeśli f(n) jest dodatnie a g(n) ujemne (lub na odwrót) to warunek ten na pewno nie jest spełniony.
a) Dla każdego n, an+|an|=0. Jego klasę abstrakcji stanowią więc wszystkie ciągi, których wyrazy są zawsze mniejsze lub równe zero. Przeliczalnych ciągów niedodatnich liczb całkowitych jest tyle samo co przeliczalnych ciągów nieujemnych liczb całkowitych (trywialna bijekcja), czyli continuum.
b) Ciąg bn ma na parzystych miejscach wyrazy równe 1, a na nieparzystych - jakieś niedodatnie (tak naprawdę nie „jakieś” tylko dokładnie -1, ale niewiele nas to obchodzi). Jest więc w relacji z tymi ciągami, które na miejscach parzystych mają wyrazy równe 1 a na nieparzystych dowolne niedodatnie. Ciągi takie można utożsamić z ciągami ze zbioru:
{1 0, 1 -1, 1 -2, 1 -3, ...}
który jest oczywiście przeliczalny. A przeliczalnych ciągów z przeliczalnego zbioru jest continuum.
c) Ten ciąg jest w relacji z takimi, których każdy wyraz jest równy 7, czyli tylko z samym sobą. Jego klasa abstrakcji jest więc jednoelementowa.
d) Pierwszy wyraz tego ciągu jest niedodatni, a wszystkie pozostałe dodatnie. Jego klasa abstrakcji to ciągi zaczynające się dowolną liczbą niedodatnią, a potem równe jemu.
(x, 1², 2², 3², 4², ...), x ≤ 0, x ∈ ZJest ich dokładnie tyle samo co liczb całkowitych niedodatnich, czyli przeliczalnie wiele.
Weźmy dowolny zbiór A∈P(N) i przyjrzyjmy się zbiorowi:
K(A) = {k ∈ N\{0}: ∃ a∈A k|a}
Jest to dokładnie zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczb należących do A.
Warunek relacji ≡ możemy teraz zapisać jako:
∀ k∈N\{0} k ∈ K(A) <=> k ∈ K(B)
czyliK(A) = K(B)a zatem para zbiorów A,B jest w relacji ≡ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczb ze zbioru A jest równy zbiorowi wszystkich dodatnich dzielników liczb ze zbioru B.
a) K(P) = P ∪ {1} - z definicji liczb pierwszych. Przypuśćmy, że jakiś zbiór A należy do [P] (czyli klasy abstrakcji P), czyli że K(A) = P ∪ {1}.
Taki zbiór A nie może zawierać liczb złożonych, ponieważ jeśli zbiór A zawiera liczbę złożoną x, to wtedy x|x więc x∈K(A) co jest sprzeczne z założeniem że K(A) = P ∪ {1}.
Zbiór A musi zawierać jakąś wielokrotność każdej liczby pierwszej, ponieważ każda liczba pierwsza powinna być dzielnikiem jakiegoś jego elementu. Ponieważ jednak nie mogą się w nim znajdować liczby złożone, to dla każdej liczby pierwszej jej wielokrotnością w A musi być po prostu ta liczba pierwsza. A zatem A zawiera wszystkie liczby pierwsze.
A może zawierać lub nie zawierać jedynkę, ponieważ jedynka nie posiada dzielników innych niż jeden oraz jest dzielnikiem każdej liczby całkowitej, więc jej dodanie do zbioru A nie zmienia K(A), o ile tylko A nie był wcześniej pusty.
Z powyższych obserwacji wynika, że klasa abstrakcji P to P oraz P ∪ {1}. Jej moc to oczywiście 2.
b) Oczywiście K(Q) = Q. Stąd natychmiast wynika, że jeśli A ≡ Q to A nie zawiera liczb podzielnych przez żadną liczbę pierwszą inną niż 2, więc podobnie jak Q jest zbiorem potęg dwójki, tylko że być może nie wszystkich.
A zatem [Q] jest podzbiorem P(Q), więc ma moc co najwyżej taką jak P(Q) czyli continuum (bo Q jest przeliczalny).
Ponadto zauważmy, że do [Q] należy każdy nieskończony zbiór potęg dwójki. Jeśli bowiem jakiś A ⊂ Q jest nieskończony, to znaczy to, że dla każdej potęgi dwójki istnieje potęga wyższa, należąca do A, czyli każda potęga dwójki ma wielokrotność w A. A zatem K(A) zawiera wszystkie potęgi dwójki (i tylko potęgi dwójki) więc jest równy K(Q).
Nieskończonych pozdbiorów zbioru przeliczalnego jest continuum, więc [Q] ma moc przynajmniej continuum i, wobec poprzednich ustaleń, dokładnie continuum.
a) Jest to klasa tych ciągów, których zbiór wartości jest jednoelementowy, czyli ciągów stałych. Oczywiście takich ciągów jest tyle co liczb naturalnych, czyli przeliczalnie wiele.
b) Jest to klasa ciągów, których zbiór wartości jest trzyelementowy. Ciągów takich na pewno nie jest więcej niż continuum, bo tyle jest wszystkich przeliczalnych ciągów liczb naturalnych. Ale jest ich przynajmniej continuum, ponieważ są to między innymi ciągi postaci:
(0,1,2, ...jakiś nieskończony ciąg zero-jedynkowy... )a tych jest continuum.
Klas abstrakcji jest tyle, ile możliwych mocy zbiorów wartości. Zbiorem wartości ciągu liczb naturalnych może być albo cały zbiór liczb naturalnych, albo jakiś jego nieskończony podzbiór, albo jakiś jego skończony podzbiór. W pierwszym przypadku moc zbioru wartości to |N|, w drugim też |N|, w trzecim jakaś liczba naturalna większa od 0. Jak widać, wszystkich takich mocy jest tyle co liczb naturalnych, minus jeden (ze względu na brak 0) plus jeden (ze względu na |N|), czyli przeliczalnie wiele.