W chwili, gdy ten krótki tekst powstaje, w Polsce mamy duży problem z inflacją. Jej przyczyny są bardzo złożone, wśród nich można wskazać między innymi trwającą wciąż wojnę na Ukrainie, którą rozpoczął atak Rosji w dniu 24.02.2022, trwającą w latach 2020-2021 światową pandemię oraz błędną politykę gospodarczą polskiego rządu oraz banku centralnego. Tekst ten powstaje w Dziwnowie, na wakacjach - w sezonie urlopowym ceny nad morzem zawsze są bardzo wysokie, zaś w tym roku zjawisko to spotęgowane jest ogólnie wysoką inflacją. Wszyscy dookoła rozmawiają tu o tym, jak wysokie są ceny różnych dóbr i usług, które zakupili.
Równocześnie w mediach, głównie społecznościowych, dużo mówi się o tym, jak niski jest stan wiedzy dotyczącej inflacji w naszym społeczeństwie. Można przykładowo dowiedzieć się, że duży procent społeczeństwa sądzi, że spadek inflacji jest równoważny spadkowi cen. W tym krótkim tekście chciałbym pokazać i wyjaśnić od strony matematycznej jeden z "paradoksów" inflacyjnych, które samodzielnie dostrzegłem. Po lekturze tego tekstu, taką przynajmniej mam nadzieję, czytelnik zechce głębiej zastanowić się nad niektórymi stwierdzeniami dotyczącymi inflacji, które formułuje się w mediach.
Inflacja jest definiowana jako procentowy wzrost poziomu cen w gospodarce pomiędzy dwoma badanymi okresami. Gdy pewien produkt dziś kosztuje \(100\)zł, a za rok \(110\)zł, to inflacja na tym produkcie wynosi \(10\%\). W gospodarce ceny produktów zwykle ulegają zmianom w czasie, każdy produkt ma zatem swoją własną inflację. Mówiąc o inflacji, najczęściej mamy na myśli tzw. inflację CPI (ang. Consumer Price Index, pol. Wskaźnik Cen Konsumenta), która jest obliczana na podstawie przeciętnego składu koszyka zakupowego konsumenta. Wskaźnik ten jest wynikiem pewnego uśrednienia inflacji poszczególnych produktów znajdujących się w takim przeciętnym koszyku.
Ponieważ nie jest naszym celem wnikanie w metodologiczne szczegóły dotyczące obliczania inflacji, ograniczymy się do analizy bardzo prostej sytuacji, w której kupujemy produkt, o którym wiemy, że jego cena zmienia się zawsze dokładnie tak samo, jak wskazuje to inflacja podawana do mediów przez Główny Urząd Statystyczny.
Przypuśćmy, że nasz bardzo przeciętny (w sensie statystycznym, rzecz jasna) produkt przez cały lipiec 2022 kosztował \(100\)zł. Od pierwszego sierpnia 2022 sprzedawca naszego produktu podniósł cenę zgodnie z odczytem inflacji, który napotkał w mediach - ceny z miesiąca na miesiąc wzrosły o \(1.5\%\). Nasz produkt podrożał zatem do \(101.50\)zł.
Wyobraźmy sobie, że gdy spojrzeliśmy w sklepie na tę nową cenę, zniechęciliśmy się bardzo do zakupu. Minął rok, aż znów zatęskniliśmy za naszym wyrobem, zatem wybraliśmy się do sklepu, aby sprawdzić obecną cenę. Okazało się, że w lipcu 2023 nasz produkt kosztuje aż \(115\)zł! Ponownie bardzo się zniechęciliśmy do zakupu produktu i wyszliśmy ze sklepu. Ponieważ jednak w mediach głównego nurtu bardzo często słyszymy, że inflacja spada, a my nie znamy się na ekonomii, pomyśleliśmy tak:
Cena naszego produktu powinna być dla nas w miarę upływu czasu coraz korzystniejsza. Za miesiąc wrócimy do sklepu i zobaczymy, jaka będzie wtedy cena - być może wtedy kupimy nasz produkt.
Wielkie było nasze zdziwienie, gdy w sierpniu wróciliśmy do sklepu i zobaczyliśmy tam cenę naszego produktu wynoszącą \(116.60\)zł. Nasze zdziwienie oczywiście wynikało z tego, że przypomnieliśmy sobie dokładnie bieg wydarzeń z przeszłości:
- W lipcu 2022 cena wynosiła \(100\)zł.
- W sierpniu 2022 cena wynosiła \(101.50\)zł, czyli inflacja pomiędzy miesiącami wyniosła \(1.5\%\).
- W lipcu 2023 cena wyniosła \(115\)zł, czyli inflacja w ujęciu rocznym, lipiec do lipca, wyniosła \(15\%\).
- W sierpniu 2023 cena wyniosła \(116.60\)zł, czyli inflacja pomiędzy miesiącami wyniosła \(1.39\%\), zaś w ujęciu rocznym względem sierpnia 2022 wyniosła \(14.88\%\).
Powtórzmy wyraźnie - inflacja w lipcu wyniosła \(15\%\), a w sierpniu \(14.88\%\). Podobnie też \(1.5\%\) to więcej niż \(1.39\%\). Rzeczywiście, media mówiły prawdę - inflacja spada. Problem w tym, że mimo to cena między lipcem a sierpniem 2023 wzrosła o \(1.60\)zł, podczas gdy między lipcem a sierpniem 2022 wzrosła o \(1.50\)zł. Czy to oznacza, że ceny rosną szybciej pomimo tego, że inflacja spada? Czy sytuacja rzeczywiście będzie z biegiem czasu stawała się coraz korzystniejsza?
Z pomocą w rozwiązaniu tej inflacyjnej zagadki przychodzi prosta matematyka. Wprowadźmy następujące oznaczenia:
- Stopa inflacji sierpień 2022 do lipca 2022: \(\pi_1\)
- Stopa inflacji lipiec 2023 do lipca 2022: \(\pi_2\)
- Stopa inflacji sierpień 2023 do lipca 2022: \(\pi_3\)
Zgodnie z oznaczeniami, skoro nasz produkt w lipcu 2022 kosztował \(100\)zł, to w sierpniu 2022 będzie kosztował \(100(1+\pi_1)\)zł, w lipcu 2023 \(100(1+\pi_2)\)zł, zaś w sierpniu 2023 \(100(1+\pi_3)\)zł. Załóżmy teraz, że zgodnie z tym co mówią media, inflacja w ujęciu rocznym spada. Roczna inflacja za lipiec 2023 względem lipca 2022 wynosi rzecz jasna \(\pi_2\). Z kolei roczna stopa inflacji za sierpień 2023 względem sierpnia 2022 to: $$\frac{1+\pi_3}{1+\pi_1}-1$$ Skoro ma ona być niższa niż \(\pi_2\), zapisujemy: $$\frac{1+\pi_3}{1+\pi_1}-1<\pi_2$$ Dodajemy \(1\) do obu stron i mnożymy obie strony przez \((1+\pi_1)\): $$1+\pi_3<(1+\pi_1)(1+\pi_2)$$ Następnie dzielimy obie strony przez \((1+\pi_2)\): $$\frac{1+\pi_3}{1+\pi_2}< 1+\pi_1$$
Gdy odejmiemy teraz \(1\) od obu stron, zauważymy że lewa strona to inflacja między sierpniem a lipcem 2023, zaś prawa to inflacja między sierpniem a lipcem 2022: $$\frac{1+\pi_3}{1+\pi_2}-1<\pi_1$$
Nierówność ukazująca zależność między inflacjami z miesiąca na miesiąc, wyprowadzona z założenia o spadku inflacji w ujęciu rok do roku.
Z całości rozumowania, zwieńczonego powyższą nierównością, wynika rzeczywiście, że gdy inflacja roczna spada, tempo wzrostu cen z miesiąca na miesiąc jest wolniejsze. Czy jednak oznacza to, że cena się zmniejszyła? Nic podobnego! Może się stać wręcz odwrotnie - przez rok cena może urosnąć na tyle, że mniejszy procent ceny dzisiejszej (wyższej) nominalnie stanowi więcej, niż większy procent ceny sprzed roku (niższej).
Spróbujmy teraz wyprowadzić związek pomiędzy \(\pi_1, \pi_2, \pi_3\), przy którym zaistnieje opisana powyżej sytuacja. Nominalny przyrost ceny między lipcem a sierpniem 2022 to: $$100(1+\pi_1)-100=100\pi_1$$ Z kolei nominalny wzrost ceny między lipcem a sierpniem 2023 to: $$100(1+\pi_3)-100(1+\pi_2)=100(\pi_3-\pi_2)$$ Nałóżmy teraz warunek, aby ten drugi przyrost był większy niż ten pierwszy: $$100(\pi_3-\pi_2)>100\pi_1$$ Co równoważnie daje: $$\pi_3>\pi_1+\pi_2$$ Zatem komplet warunków, aby zdarzyła się taka pozornie paradoksalna sytuacja, przedstawia się następująco: $$1+\pi_3<(1+\pi_1)(1+\pi_2) \text{ oraz } \pi_3>\pi_1+\pi_2$$ Możne te dwa warunki połączyć w jeden i napisać, że warunkiem dostatecznym zajścia opisanej sytuacji jest, aby: $$\pi_1\pi_2>\pi_3-(\pi_1+\pi_2)>0$$ Możemy łatwo sprawdzić, że gdy podstawimy do tych nierówności dane z naszej wyjściowej opowieści, czyli \(\pi_1 = 0.015, \pi_2 = 0.15, \pi_3 = 0.166\), obie nierówności będą spełnione. Mamy bowiem: $$0.015\cdot0.15 = 0.00225 > 0.166 - (0.015 + 0.15) = 0.001$$ Opisana sytuacja jest (na szczęście) czysto hipotetyczna - z tabel GUS (Główny Urząd Statystyczny, Wskaźniki cen, dane miesięczne) i prostych obliczeń wynika, że w Polsce nie mamy w tej chwili do czynienia z takim zjawiskiem.