Zacznijmy od prostego przykładu. Chcemy włożyć pieniądze na lokatę, której oprocentowanie wynosi \(100\%\) w skali roku (całkiem dobra lokata…). Załóżmy, że nasz wkład początkowy wynosi \(1\)zł. Idziemy do pierwszego banku i słyszymy, że odsetki naliczają się raz w roku, na koniec roku. Ile pieniędzy będziemy mieli po roku na koncie? Odpowiedź jest prosta: \(2\)zł. Po roku odsetki wynoszą \(1\)zł plus wkład początkowy \(1\)zł – to daje łącznie \(2\)zł.
Możemy jednak iść do innego banku. W drugim banku mówią nam, że oprocentowanie wprawdzie mają takie samo, ale kapitalizują \(2\) razy w roku – po \(6\) i \(12\) miesiącach. Ponieważ w skali półrocza oprocentowanie to \(\frac{100\%}{2}=50\%=\frac{1}{2}\), to po \(6\) miesiącach będziemy mieli na koncie $$1\text{zł}+50\%\cdot1\text{zł}=1\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=1.50\text{zł}$$
Z przodu nawiasu napisaliśmy liczbę \(1\) dla podkreślenia, że tyle wynosił nasz wkład początkowy. Po kolejnych \(6\) miesiącach, czyli na koniec roku, jeszcze o \(50\%\) więcej: $$1.50\text{zł}+50\%\cdot1.50\text{zł}=1.50\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)= 1\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2.25\text{zł}$$
Oferta drugiego banku jest dla nas korzystniejsza o \(25\) groszy. Grzebiemy w necie i znajdujemy trzeci bank – tam słyszymy, że oprocentowanie mają \(100\%\) w skali roku, ale kapitalizują nam… co miesiąc! Tym razem oprocentowanie w skali jednego miesiąca wynosi \(\frac{100\%}{12}=\frac{1}{12}\). Po pierwszym miesiącu mamy: $$1\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{12}\right)=\frac{13}{12}\text{zł}$$ Po drugim miesiącu mamy: $$\frac{13}{12}\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{12}\right)= 1\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{12}\right)^2=\frac{169}{144}\text{zł}$$ Łatwo widzimy, że na koniec roku – czyli po \(12\) miesiącach – kwota na naszym koncie będzie wynosiła $$1\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}\approx2.61\text{zł}$$ Jeszcze więcej niż w banku drugim! Pewnie się nie spodziewaliśmy… ale jest czwarty bank w mieście! Okazuje się, że są skłonni zaoferować nam kapitalizację dzienną, więc liczymy, ile będziemy mieli na koncie po roku lokaty: $$1\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}\approx2.7146\text{zł}$$ Oczywiście bez zdziwienia znajdujemy też piąty bank, w którym pracują najlepsi ludzie na świecie. Oferują nam kapitalizację co jedną sekundę, więc zobaczmy, jak to się opłaca: $$1\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{365\cdot24\cdot60\cdot60}\right)^{365\cdot24\cdot60\cdot60}= 1\text{zł}\cdot\left(1+\frac{1}{31 536 000}\right)^{31 536 000}≈2.7183\text{zł}$$ Widać już, że dzieje się tutaj coś ciekawego. Popatrzmy na liczby: $$2\text{zł}\quad 2.25\text{zł}\quad 2.61\text{zł}\quad 2.7146\text{zł}\quad 2.7183\text{zł}$$
Teraz pora na trochę prawdziwej matmy. Patrząc analitycznie, badaliśmy tutaj ciąg liczbowy \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) określony wzorem: $$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ Nasze badanie polegało na analizowaniu, jak zachowują się wyrazy tego ciągu wraz ze wzrostem \(n\). Liczby, które dostaliśmy w góry, to kolejno: \(a_1, a_2, a_{12}, a_{365}\text{ oraz }a_{31 536 000}\). Okazuje się, że taki ciąg nie może rosnąć w nieskończoność. W istocie jest to ciąg rosnący, ale jednocześnie ograniczony. Ciągi rosnące i ograniczone z góry są zbieżne, czyli posiadają granicę. Liczbę, będącą wartością tej granicy, oznaczamy literką \(e\). Niestety, wkładając \(p\) zł na lokatę z rocznym oprocentowaniem \(100\%\), po roku nie wyjmiemy z niej więcej, niż \(e\cdot p\) zł. Szkoda, bo przecież chciałoby się móc zarabiać na lokatach nieskończenie dużo pieniędzy.
$$e:=\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}≈2.718281828\dots$$
Ryc. 1. Definicja oraz przybliżona wartość liczby \(e\)
Stałą \(e\) jako pierwszy zaczął oznaczać w ten sposób wybitny matematyk szwajcarski Leonhard Euler, choć nie jest do końca jasne, dlaczego wybrał właśnie takie oznaczenie. Na pierwszy rzut oka to rozwinięcie dziesiętne wygląda na okresowe, ale nic bardziej mylnego. Liczba \(e\) jest liczbą niewymierną – ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. W dodatku jest to ten sam typ niewymierności, co \(\pi\) – nie istnieje równanie wielomianowe o wszystkich współczynnikach całkowitych, którego rozwiązaniem jest liczba \(e\). Dla przykładu, liczba \(\sqrt{2}\) też jest niewymierna, ale jest rozwiązaniem równania $$x^2-2=0$$ Ani dla \(e\), ani dla \(\pi\), takie równanie nie istnieje. Liczby posiadające tę cechę nazywamy liczbami przestępnymi i oczywiście wszystkie one są niewymierne. Dowód samej niewymierności liczby \(e\) nie jest trudny, choć nie będziemy go w tym miejscu przytaczać.
Zajmiemy się teraz nieco trudniejszymi zagadnieniami związanymi z liczbą \(e\). W dalszej części tekstu zakładamy, że czytelnik zna pojęcia takie jak logarytm, pochodna czy też funkcja odwrotna. Przechodząc do rzeczy - w praktycznych zastosowaniach matematyki kluczową rolę odgrywają funkcje: $$f(x)=e^x \text{ oraz }g(x)=\log_{e}{x}≔\ln{x}$$ Gdzie napis \(\ln{x}\) czytamy „logarytm naturalny z \(x\)”. Prawdziwe są też wzory: $$f'(x)=e^x \text{ oraz } g'(x)=\frac{1}{x}$$ Z własności funkcji wzajemnie odwrotnych wynika, że: $$\ln{e^x}=x \text{ dla }x\in\mathbb{R} \text{ oraz }e^{\ln{x}}=x \text{ dla }x\in(0,\infty)$$ Pochodną funkcji w danym punkcie geometrycznie daje się reprezentować jako współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Innymi słowy - pochodna jest miarą wzrostu funkcji. Zatem jeśli \(\left(e^x\right)'=e^x\), to możemy powiedzieć, że funkcja wykładnicza \(e^x\) sama reprezentuje swój własny wzrost. Rośnie tak szybko, ile w danym punkcie wynosi jej wartość. Między innymi stąd pochodzi nazwa „logarytm naturalny” – te funkcje są niezwykle naturalnymi miarami wzrostów obserwowanych m.in. w przyrodzie i w zjawiskach ekonomiczno-finansowych. Co ciekawe, funkcja wykładnicza \(f(x)=e^x\), to jedyna funkcja spełniająca jednocześnie warunki: $$f(0)=1 \text{ oraz } f'(x)=f(x) \text{ dla każdego } x\in\mathbb{R}$$ Na zakończenie – ostatnia już ciekawostka. Wprowadźmy dobrze znane bardziej zaawansowanym czytelnikom oznaczenie \(k!≔1\cdot2\cdot\ ...\ \cdot(k-1)\cdot k\) dla \(k\geq1\), przyjmujemy ponadto \(0!=1\). Prawdziwy jest wzór: $$e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\dots= 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\dots$$
Ryc. 2. Rozwinięcie liczby \(e\) w postać nieskończonej sumy
W ogólności prawdziwy jest wzór: $$e^x=\frac{1}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots$$
Ryc. 3. Rozwinięcie funkcji \(e^x\) w tzw. szereg Taylora
Rozwinięcie liczby \(e\), które widzimy na Ryc. 2, dostajemy wstawiając \(x=1\) do rozwinięcia Taylora. Funkcja wykładnicza \(e^x\) dość elegancko wyraża się czymś w rodzaju "nieskończonego wielomianu".